Chapitre : probabilités - TS
------------
Baccalauréat national juin 1996 groupe II bis (groupes II–III) 4 points.
On dispose de deux urnes :
• une urne U1 dans laquelle se trouvent trois boules blanches et deux boules noires ;
• une urne U2 dans laquelle se trouvent deux boules blanches et trois boules noires.
Une épreuve consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de chaque urne : on obtient ainsi quatre boules, les tirages dans chaque urne étant équiprobables.
1/ Montrer que la probabilité de l’évènement E :
« parmi les quatre boules tirées, il y a exactement deux boules blanches » est égale à 0,46.
2/ On note X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules blanches obtenues.
a/ Déterminer la loi de probabilité de X.
b/ Le joueur doit verser 2,50 F avant d’effectuer le tirage ; il reçoit à l’issue du tirage 1 F par boule blanche obtenue. Le jeu est-il équitable ?
3/ Calculer la probabilité d’avoir tiré une et une seule boule blanche de l’urne U1 sachant qu’on a tiré deux boules blanches.
4/ On ne considère que l’urne U1, de laquelle on tire toujours au hasard et simultanément deux boules. On nomme succès le tirage de deux boules blanches. On renouvelle dix fois la même épreuve (en remettant chaque fois les boules tirées dans l’urne). Déterminer la probabilité d’avoir au moins un succès sur les dix tirages.
--------
1°) L'ensemble des éventualités Ω est l'ensemble des tirages de deux boules de l'urne U1 et de deux boules de l'urne U2. Comme les tirages sont simultanés dans chacune des urnes nous utiliserons pour nos calculs des combinaisons.
Soit Ω1 l'ensemble des éventualités correspondant au tirage de deux boules dans U1.
Sachant que l'urne U1 contient 5 boules, on a card Ω1 =
= 10.Soit Ω2 l'ensemble des éventualités correspondant au tirage de deux boules dans U2.
Sachant que l'urne U2 contient 5 boules, on a card Ω2 =
= 10.Soit Ω l'ensemble des éventualités correspondant au tirage de deux boules dans U1 et de 2 boules dans U2.
On a donc card Ω =
x = 10 x 10 = 100.Soit A = "ensemble des tirages de 2 boules de l'urne U1 et de 2 boules dans l'urne U2 contenant exactement 2 boules blanches"
A est réalisé si l'un des 3 événements suivants est réalisé :
A1 = "tirer 2 boules blanches parmi 3 dans U1 et tirer 2 boules noires parmi 3 dans U2"
A2 = "tirer 1 boule blanche parmi 3 dans U1 et 1 boule noire parmi 2 dans U1 et tirer 1 boule blanche parmi 2 dans U2 et 1 boule noire parmi 3 dans U2"
A3 = "tirer 2 boules noires parmi 2 dans U1 et tirer 2 boules blanches parmi 2 dans U2"
On vérifie qu'il y a bien 4 boules tirées dans chacun des 3 événéments A1,A2,A3.
On a donc A = A1 ∪ A2 ∪ A3.
D'où card A = card A1 + card A2 + card A3 car les 3 évenements A1,A2,A3 sont 2 à 2 incomptabibles c'est à dire A1∩A2 = ∅ ; A2∩A3 = ∅ ; A2∩A3 = ∅ (ils ne peuvent avoir lieu en même temps).
Or
Donc
=
+
+
=
+
+
Donc
=
+
+
Donc
=
+
+
Donc
=
= 0.43.
On peut représenter ce tirage par un arbre pondéré en s'intéressant au nombre de boules blanches tirées dans l'urne U1 et dans l'urne U2.On note alors B le nombre total de boules blanches obtenues.
L'événement A est alors la réunion des trois événements incompatibles correspondant à B = 2 .
Le premier niveau de l'arbre correspond au nombre de boules blanches tirées dans l'urne U1.
Le deuxième niveau de l'arbre correspond au nombre de boules blanches tirées dans l'urne U2.
Sur l'arbre pondéré, la probabilité sur la branche issue du noeud racine qui a une probabilité de 0.1 se calcule comme ceci
p("tirer 0 blanches parmi 3 blanches et 2 noires parmi de 2 noires dans U1") =
= 
= 1/10 = 0.1
2/
a) Soit X est la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules blanches obtenues
On a : X(Ω) = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 }
On peut donner la loi de probabilité de X en utilisant l'arbre pondéré de la première question. On a
p(X = 0) = 0,1 * 0,3 = 0,03
p(X = 1) = 0,1 * 0,6 + 0,6 * 0,3 = 0,24
p(X = 2) = 0,46 (d'après 1°)
p(X = 3) = 0,6 * 0,1 + 0,3 * 0,6 = 0,24
p(X = 4) = 0,3 * 0,1 = 0,03
On peut résumer les résultats dans le tableau suivant :
| xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| p(X = xi) | 0,03 | 0,24 | 0,46 | 0,24 | 0,03 |
b) Calculons l'espérance mathématique de X. Par définition on a :
E(X) = 0 * p(X = 0) + 1 * p(X = 1) + 2 * p(X = 2) + 3 * p(X = 3) + 4 * p(X = 4)
Donc E(X) = 0 + 0,24 + 0,92 + 0,72 + 0,12
Donc E(X) = 2 .
Puisque le joueur gagne 1 € par boule blanche obtenue, on peut donc dire que le joueur gagne en moyenne 2 € par partie.
La mise étant de 2,5 € et l'espérance de gain de 2 €, on peut dire que le jeu n'est pas équitable .
3°) Notons B1 l'événement : «tirer une et une seule boule blanche de l'urne U1».
La probabilité d'avoir tiré une et une seule boule blanche de l'urne U1 sachant qu'on a tiré exactement deux boules blanches est p(X=2)(B1).
La formule des probabilités conditionnelles permet d'écrire :p(X=2)(B1) = p(B1 ∩ (X = 2) ) / p(X = 2).
L'événement B1 ∩ (X = 2) correspond à l'événement «tirer une et une seule boule blanche de U1 et une et une seule boule blanche de U2». D'après l'arbre pondéré, on a p(B1 n (X = 2) ) = 0,6 * 0,6 = 0,36.
Donc p(X=2)(B1) = 0,36 / 0,46 = 0,78.
4°) D'après le 1°) la probabilité de S : «obtenir 2 boules blanches en tirant dans l'urne U1» est p = 0,3 . Si on répète dix fois la même épreuve en remettant à chaque fois les boules tirées dans l'urne, on effectue un schéma de Bernoulli. Notons N le nombre de succès obtenus.
L'événement «obtenir au moins 1 succès sur les dix tirages» est l'événement (N ≥ 1) .
Son événement contraire est (N < 1) = (N = 0).
On sait que la probabilité de n'obtenir aucun succès est p(N = 0) =
= 0.710On en déduit donc que : p(N ≥ 1) = 1 - p(N < 1) = 1 - p(N = 0) = 1 - (0,7)10 ≅ 0,97 .